Question

16．已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．
（1）求证：AC⊥平面PCD；
（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，取AD中点E，连接CE，容易得到CE⊥AD，从而便可得到CD=AC=$\sqrt{2}$，AD=2，所以AC⊥CD，同样通过已知条件PA=$\sqrt{3}$，PC=1，AC=$\sqrt{2}$，从而得到AC⊥PC，从而得出AC⊥平面PCD；
（2）容易说明PD⊥平面PAC，从而得到平面PAD⊥平面PAC，然后作CN⊥PA，连接DN，从而便得到∠CDN是CD和平面PAD所成的角，要求这个角的正弦值，只需求出CN：在Rt△PAC中，由面积相等即可求出CN，CD前面已求出，从而可得出$sin∠CDN=\frac{CN}{CD}$．

解答 解：（1）证明：AB⊥BC，AB=BC=1；
∴$AC=\sqrt{2}$；
AD=2，PD=1，∠APD=90°；
∴AP=$\sqrt{3}$，又PC=1；
∴AC²+PC²=AP²；
∴AC⊥PC；
如图，取AD中点E，连接CE；

AD∥BC，∴CE⊥AD，CE=1；
∴CD=$\sqrt{2}$，AD=2；
∴AC⊥CD，CD∩PC=C；
∴AC⊥平面PCD；
（2）PC=PD=1，CD=$\sqrt{2}$；
∴PD⊥PC；
∠APD=90°，∴PD⊥PA，PA∩PC=P；
∴PD⊥平面PAC，PD?平面PAD；
∴平面PAC⊥平面PAD；
∴过C作CN⊥PA，并交PA于N，连接DN，则：
CN⊥平面PAD，∠CDN便是直线CD与平面APD所成角；
在Rt△PAC中，AC=$\sqrt{2}$，PC=1，PA=$\sqrt{3}$；
∴$\sqrt{3}•CN=1•\sqrt{2}$；
∴$CN=\frac{\sqrt{6}}{3}$，CD=$\sqrt{2}$；
∴sin∠CDN=$\frac{CN}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴CD与平面APD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查直角三角形边的关系，等腰三角形底边上的中线也是高线，线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，直线与平面所成角的概念及找法．