题目内容
4．已知曲线Γ为函数f（x）=3x-x3的图象，过点A（2，2）作曲线Γ的切线，可能的切线条数是（ ）| A． | 3 | B． | 2 | C． | 1 | D． | 0 |
分析 设出切点P（m，3m-m3），利用导数求出过切点的切线方程，代入M点坐标，然后再利用导数求解关于m的方程的解的个数，则答案可求．
解答 解：设切点为P（m，3m-m3），
由f（x）=3x-x3，得f′（x）=3-3x2，
∴切线的斜率k=3-3m2，
得曲线过P点的切线方程为y-3m+m3=（3-3m2）（x-m），
即y=3（1-m2）x+2m3，
∵切线过点M（2，2），
故2=6-6m2+2m3，
即2m3-6m2+4=0，
令h（m）=2m3-6m2+4，
则h′（m）=6m2-12m，
由h′（m）=0，解得m=0或m=2，
当m∈（-∞，0），（2，+∞）时，h′（m）＞0，
当m∈（0，2）时，h′（m）＜0．
∴h（m）的极大值、极小值分别为h（0）=5＞0，
h（2）=-3＜0，
故其图象与x轴交点3个，
也就是切线条数为3．
故选：A．
点评 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，体现了数学转化思想方法，是中档题．
练习册系列答案
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