Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N、P、Q分别是FC、AF、DC、AD的中点）
（1）直线DE与直线BF的位置关系是什么、夹角大小为多少？
（2）判断并证明直线MN与直线PQ的位置关系；
（3）求三棱锥D-ABF的体积．

Answer 1

（1）由三视图分析得到原图形为两个侧面垂直的直三棱柱的平放图形，由图可知直线DE与直线BF的位置关系是异面直线，其夹角为∠BFC，大小为45°；
（2）直线MN与直线PQ的位置关系是平行
证明：连接AC，因为M、N、P、Q分别是FC、AF、DC、AD的中点，所以PQ∥AC，MN∥AC，所以MN∥PQ；
（3）由三视图可知△ABF是边长为2的等腰直角三角形，且三棱锥D-ABF的高为AD=2，
所以V_D-ABF=

1

3

×S△ABF×AD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．