题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，焦距长
，过点
的直线
交椭圆
于
，
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在
轴上是否存在一点
，使得
为定值.
【答案】（1）
（2）存在点
符合题意
【解析】
(1)首先可通过焦距为
计算出
的值，再将点
代入椭圆方程中即可计算出
的值，最后得出椭圆
的方程；
(2)首先可设
点存在，然后设出直线
的方程以及
、
两点坐标，然后联立直线方程与椭圆方程得出
的值，然后对
进行化简，最后即可求出点的坐标以及定值。
(1)由焦距为可以得出
，
然后将代入方程
可得
，
，
故椭圆方程为；
(2)假设存在点
，使为定值，
若直线的斜率不为0时，设直线：
交椭圆于
，
，
由
可得：
，
，
，
，
，
，
要使上式为定值，则
，即
，此时
而当点为
，且直线的斜率为0时，
，
，
，
故在
轴上存在点，使得为定值，且等于
。
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