题目内容
【题目】如图,在四面体中,
,
.
(1)证明:;
(2)若,
,四面体
的体积为2,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)作Rt△斜边
上的高
,连结
,易证
平面
,从而得证;
(2)由四面体的体积为2,
,得
,所以
平面
,以
,
,
为
,
,
轴建立空间直角坐标系
,利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.
详解:解法一:(1)如图,作Rt△斜边
上的高
,连结
.
因为,
,所以Rt△
≌Rt△
.可得
.所以
平面
,于是
.
(2)在Rt△中,因为
,
,所以
,
,
,△
的面积
.因为
平面
,四面体
的体积
,所以
,
,
,所以
平面
.
以,
,
为
,
,
轴建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,
,
,
.
设是平面
的法向量,则
,即
,可取
.
设是平面
的法向量,则
,即
,可取
.
因为,二面角
的平面角为钝角,所以二面角
的余弦值为
解法二:(1)因为,
,所以Rt△
≌Rt△
.可得
.
设中点为
,连结
,
,则
,
,所以
平面
,,于是
.
(2)在Rt△中,因为
,
,所以△
面积为
.设
到平面
距离为
,因为四面体
的体积
,所以
.
在平面内过
作
,垂足为
,因为
,
,所以
.由点到平面距离定义知
平面
.
因为,所以
.因为
,
,所以
,
,所以
,即二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女,结果如表.
非一线 | 一线 | 总计 | |
愿生 | |||
不愿生 | |||
总计 |
附表:
| |||
由算得,
参照附表,得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
D. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”