题目内容
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,左右焦点分别为
和
,且椭圆
经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线
,
,分别与椭圆交于点
(均异于点
),求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)见证明
【解析】
(1)利用椭圆的定义求得,根据焦点求得
,结合
求得
,由此得到椭圆的标准方程.(2)当直线
斜率存在时,设出直线
的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出判别式及韦达定理,利用
列出方程,并由此化简直线方程,得到直线所过定点.当直线
斜率不存在时,根据椭圆的对称性,证得直线过定点.
(1)设椭圆的标准方程为
,
∴
∴
∴
所以,椭圆的标准方程为.
(2)①直线斜率存在,设直线
:
,
,
,联立方程
消去得
,
,
,
,
又
,
由得
,
即,,∴
,
∴,
∴.解得:
,
,且均满足
,
当时,直线
的方程为
,直线过定点
,与已知矛盾;
当时,直线
的方程为
,直线过定点
.
②由椭圆的对称性所得,当直线,
的倾斜角分别为
,
,易得直线
:
,
:
,直线
,
分别与椭圆交于点
,
,此时直线
斜率不存在,
也过定点
综上所述,直线恒过定点
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