题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在坐标原点，左右焦点分别为
和
，且椭圆经过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点
作两条相互垂直的直线
，
，分别与椭圆交于点
（均异于点），求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）见证明
【解析】
（1）利用椭圆的定义求得
，根据焦点求得
，结合
求得
，由此得到椭圆的标准方程.（2）当直线
斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式及韦达定理，利用
列出方程，并由此化简直线方程，得到直线所过定点.当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，证得直线过定点.
（1）设椭圆
的标准方程为
，
∴
∴
∴
所以，椭圆的标准方程为.
（2）①直线斜率存在，设直线：
，
，
，联立方程
消去
得
，
，
，
，
又
，
由
得，
即，
，∴
，
∴
，
∴
.解得：
，
，且均满足，
当时，直线的方程为
，直线过定点
，与已知矛盾；
当时，直线的方程为
，直线过定点
.
②由椭圆的对称性所得，当直线
，
的倾斜角分别为
，
，易得直线：
，
：
，直线，分别与椭圆交于点
，
，此时直线斜率不存在，
也过定点
综上所述，直线恒过定点
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