Question

已知O为坐标轴原点，∠AOB=90°，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y=

1

4

x²上运动．（x₁x₂＜0，y₁y₂＞0）
（1）求证：点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上；
（2）求证：直线AB经过一个定点，并求出这个定点坐标；
（3）当AB∥x轴时，动点P以每秒一个单位的速度自点B向点O运动，同时动点Q以每秒两个单位的速度自点A向点O运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒（t≥0），试说明PQ的中点在定直线上，并求此定直线的解析式．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由∠AOB=90°，则x₁x₂+y₁y₂=0，以及A，B在抛物线上的条件，即可得证；
（2）设直线AB：y=kx+t，代入抛物线方程，可得，x²-4kx-4t=0，运用韦达定理，及x₁x₂+y₁y₂=0，得到t的方程，解得t=4即可得证；
（3）设出运动t秒时，

OP

=（4

2

-t）

OB

，求得P的坐标，再由

OQ

=（4

2

-2t）

OA

，求得Q的坐标，再由中点坐标公式，消去t，即可得到定直线．

解答： （1）证明：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y=

1

4

x²上运动，
则有x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
由于∠AOB=90°，则x₁x₂+y₁y₂=0，
即有（x₁x₂）²=16y₁y₂=-16x₁x₂，即有x₁x₂=-16．
则点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上；
（2）证明：设直线AB：y=kx+t，代入抛物线方程，可得，
x²-4kx-4t=0，x₁x₂=-4t，x₁+x₂=4k，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²
=-4k²t+4k²t+t²=t²，由于x₁x₂+y₁y₂=0，则t²-4t=0，解得，t=4．
即有直线y=kx+4，即恒过定点（0，4）；
（3）解：当AB∥x轴时，即A（4，4），B（-4，4），
动点P以每秒一个单位的速度自点B向点O运动，则运动4

2

秒停止，
动点Q以每秒两个单位的速度自点A向点O运动，则运动2

2

秒停止，
则0≤t≤2

2

，
运动t秒时，由

OP

=（4

2

-t）

OB

，可得P（-16

2

+4t，16

2

-4t）
由

OQ

=（4

2

-2t）

OA

，可得Q（16

2

-8t，16

2

-8t），
则PQ的中点为：（-2t，16

2

-6t），
可令x=-2t，y=16

2

-6t，
消去t，可得，y=3x+16

2

．
则有PQ的中点在定直线y=3x+16

2

上．

点评：本题考查抛物线方程及运用，考查两直线的垂直的条件，以及直线恒过定点的问题，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．