题目内容
【题目】对于数列,定义“
变换”:
将数列
变换成数列
,其中
,且
,这种“
变换”记作
.继续对数列
进行“
变换”,得到数列
,依此类推,当得到的数列各项均为
时变换结束.
(1)试问和
经过不断的“
变换”能否结束?若能,请依次写出经过“
变换”得到的各数列;若不能,说明理由;
(2)求经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件;
(3)证明:一定能经过有限次“
变换”后结束.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据定义,可得不能结束,数列
能结束,并可写出数列;(2)
经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件
,先证明
,则经过一次“
变换”,就得到数列
,从而结束,再证明命题“若数列
为常数列,则
为常数列”, 即可得解;(3)先证明引理:“将数
的最大项一定不大于数列
的最大项,其中
” ,再分类讨论:第一类是没有为
的项,或者为
的项与最大项不相邻,(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,
,第二类是含有为
的项,且与最大项相邻,此时
,证明第二类数列
经过有限次“
变换”,一定可以得到第一类数列.
(1)数列不能结束,各数列依次为
;
;
;
;
;
;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为
的情形.
数列能结束,各数列依次为
;
;
;
.
(2)解:经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件是
.
若,则经过一次“
变换”就得到数列
,从而结束.
当数列经过有限次“
变换”后能够结束时,先证命题“若数列
为常数列,则
为常数列”.
当时,数列
.
由数列为常数列得
,解得
,从而数列
也为常数列.
其它情形同理,得证.
在数列经过有限次“
变换”后结束时,得到数列
(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列
也为常数列.
所以,数列经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件是
.
(3)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列
的最大项,其中
”.
证明:记数列中最大项为
,则
.
令,
,其中
.
因为, 所以
,
故,证毕.
现将数列分为两类.
第一类是没有为的项,或者为
的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,
.
第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时
.
下面证明第二类数列经过有限次“
变换”,一定可以得到第一类数列.
不妨令数列的第一项为
,第二项
最大(
).(其它情形同理)
①当数列中只有一项为
时,
若(
),则
,此数列各项均不为
或含有
项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若,则
;
此数列各项均不为
或含有
项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若(
),则
,此数列各项均不为
,为第一类数列;
若,则
;
;
,
此数列各项均不为,为第一类数列.
②当数列中有两项为
时,若
(
),则
,此数列各项均不为
,为第一类数列;
若(
),则
,
,此数列各项均不为
或含有
项但与最大项不相邻,为第一类数列.
③当数列中有三项为
时,只能是
,则
,
,
,此数列各项均不为
,为第一类数列.
总之,第二类数列至多经过
次“
变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历
次“
变换”,数列的最大项又开始减少.
又因为各数列的最大项是非负整数,
故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为
,此时数列的各项均为
,从而结束.
