题目内容
【题目】已知椭圆
经过点
,
,过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
.
（1）求椭圆的方程;
（2）求
的取值范围;
（3）设直线
和直线
的斜率分别为
和
,求证:
为定值.
【答案】（1）
;（2）
.（3）证明见详解.
【解析】
（1）根据椭圆经过点的坐标满足椭圆方程，结合已知条件，联立方程组即可求得；
（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，将
转化为关于斜率
的函数，根据的取值范围，求函数的值域即可；
（2）由（2）中所求韦达定理，将
和
表示出来，整理化简即可求证.
（1）因为椭圆经过点
，故可得
，
又因为
，
联立方程组解得
，
故椭圆方程为.
（2）根据题意，直线
的斜率一定存在，
故可设直线方程为
，
联立椭圆方程，
可得
，
则
，
解得
设
坐标为
，
故可得
，
故
.
又因为，故可得
，
故可得
.
即的取值范围为.
（3）因为
.
故
为定值
.即证.
【题目】某房地产公司新建小区有A、B两种户型住宅，其中A户型住宅每套面积为100平方米，B户型住宅每套面积为80平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元平方米）：
房号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A户型 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.8 | 2.9 | 3.2 | 2.9 | 3.1 | 3.4 | 3.3 | 3.4 | 3.5 |
B户型 | 3.6 | 3.7 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.9 | 4.2 | 4.1 | 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.5 |
（1）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
A户型 | B户型 | |
2. | ||
3. | ||
4. |
（2）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会，小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？
