题目内容

若函数f(x)满足:集合A={f(n)|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数f(x)是等比源函数.
(Ⅰ)判断下列函数:①y=x2;②y=
1x
;③y=log2x中,哪些是等比源函数?(不需证明)
(Ⅱ)判断函数f(x)=2x+1是否为等比源函数,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:?d,b∈N*,函数g(x)=dx+b都是等比源函数.
分析:(Ⅰ)直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”;
(Ⅱ)利用反证法思想证明函数f(x)=2x+1不是等比源函数;
(Ⅲ)首先证明数列{g(n)}为等差数列,然后验证g(1),g[g(1)+1],g[2g(1)+g(1)d+1]构成等比数列,从而说明结论的正确性.
解答:(Ⅰ)解:对于函数y=x2,分别取x=1,2,4,对应的函数值为1,4,16,构成等比数列,符合等比源函数定义,∴函数y=x2是等比源函数;
对于函数y=
1
x
,分别取x=1,2,4,对应的函数值为1,
1
2
1
4
,构成等比数列,符合等比源函数定义,∴函数y=
1
x
是等比源函数;
对于函数y=log2x,分别取x=2,4,16,对应的函数值为1,2,4,构成等比数列,符合等比源函数定义,∴函数y=log2x是等比源函数.
∴①②③都是等比源函数;
(Ⅱ)解:函数f(x)=2x+1不是等比源函数.
证明如下:
假设存在正整数m,n,k且m<n<k,使得f(m),f(n),f(k)成等比数列,则
(2n+1)2=(2m+1)(2k+1),整理得22n+2n+1=2m+k+2m+2k
等式两边同除以2m,得22n-m+2n-m+1=2k+2k-m+1.
∵n-m≥1,k-m≥2,∴等式左边为偶数,等式右边为奇数,
∴等式22n-m+2n-m+1=2k+2k-m+1不可能成立,
∴假设不成立,说明函数f(x)=2x+1不是等比源函数;
(Ⅲ)证明:∵?b,n∈N*,都有g(n+1)-g(n)=d,
∴?d,b∈N*,数列{g(n)}都是以g(1)为首项,公差为d的等差数列.
?d,b∈N*,g(1),g(1)(1+d),g(1)(1+d)2成等比数列,
∵g(1)(1+d)=g(1)+(g(1)+1-1)d=g[g(1)+1],
g(1)(1+d)2=g(1)+(2g(1)+g(1)d+1-1)d=g[2g(1)+g(1)d+1],
∴g(1),g[g(1)+1],g[2g(1)+g(1)d+1]∈{g(n)|n∈N*},
∴?d,b∈N*,函数g(x)=dx+b都是等比源函数.
点评:本题考查了等比数列的性质,是新定义题,解答的关键是通过举例验证证明,是中档题.
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