Question

2．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2．AA₁=3，点E为BB₁中点，
（1）求证：平面A₁CE⊥侧面AC₁，
（2）求点B₁到面A₁EC的距离．

Answer 1

分析 （1）延长CE交C₁B₁的延长线交于D，连结A₁D，证明DA₁⊥A₁C₁，即可证明平面A₁CE⊥侧面AC₁，
（2）根据点到平面的距离的定义作出B₁M，即可求点B₁到面A₁EC的距离．

解答 （1）证明：延长CE交C₁B₁的延长线交于D，
连结A₁D，
∵E为BB₁中点，
∴B₁为DC₁中点，
∵△AB₁C₁是正三角形，
∴△DA₁C₁是直角三角形，
即DA₁⊥A₁C₁，
∵DA₁⊥AA₁
∴DA₁⊥侧面AC₁，
∵DA₁?平面A₁CE，
∴平面A₁CE⊥侧面AC₁．
（2）过B₁作B₁F⊥A₁D，
则F是A₁D的中点，
连结EF，
则平面B₁EF⊥面DEA₁．
过B₁作B₁M⊥EF，
则B₁M就是点B₁到面A₁EC的距离．
∵AB=2．AA₁=3，
∴B₁F=1，B₁E=$\frac{3}{2}$，
EF=$\sqrt{{B}_{1}{E}^{2}+{B}_{1}{F}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
则三角形B₁EF中，B₁M•EF=B₁F•B₁E，
即B₁M=$\frac{{B}_{1}F•{B}_{1}E}{EF}=\frac{1×\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\frac{3\sqrt{13}}{3}$，
即点B₁到面A₁EC的距离是$\frac{3\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及点到平面的距离的计算，根据面面垂直的判定定理以及点到平面的距离求法是解决本题的关键．