[题目]已知抛物线C:x2=4y的焦点为F.过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M.N两点.设直线l是抛物线C的切线.且l∥MN.P为l上一点.则的最小值为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点，设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则的最小值为．

【答案】﹣14
【解析】解：抛物线的焦点F（0，1），∴直线MN的方程为：y=x+1．联立方程组得M（2+2 ，3+2 ），N（2﹣2 ，3﹣2 ）．
设直线l的方程为y=x+b，代入x2=4y得x2﹣4x﹣4b=0，
∵直线l是抛物线C的切线，∴方程只有一解．
∴△=16+16b=0，解得b=﹣1．即l方程为：y=x﹣1．
设P（x，x﹣1）， =（2+2 ﹣x，4+2 ﹣x）， =（2﹣2 ﹣x，4﹣2 ﹣x）．
则 =[（2﹣x）+2 ][（2﹣x）﹣2 ]+[（4﹣x）+2 ][（4﹣x）﹣2 ]=2x2﹣12x+4=2（x﹣3）2﹣14．
∴当x=3时，取得最小值﹣14．
所以答案是：﹣14．

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