Question

11．若关于x的方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0恰有3个根，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 首先可判断x∈（0，+∞），再化简方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0为a=x|lnx|，从而令g（x）=x|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{-xlnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，从而求导确定函数的单调性及极值，从而解得．

解答 解：由题意可知x∈（0，+∞），
方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0可化为方程a=x|lnx|，
令g（x）=x|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{-xlnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
①当x≥1时，
易知g（x）在[1，+∞）上是增函数，g（x）≥g（1）=0；
②当0＜x＜1时，
g′（x）=-lnx-1=-（lnx+1）；
∴当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，g′（x）＞0，当x∈（$\frac{1}{e}$，1）时，g′（x）＜0；
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是增函数，在（$\frac{1}{e}$，1）上是减函数；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$g（x）=-$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（xlnx）=-$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{lnx}{\frac{1}{x}}$=-$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}$=0；
g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$，g（1）=0；
综上所述，若关于x的方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0恰有3个根，
则0＜a＜$\frac{1}{e}$；
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．