题目内容

1．若对任意的x＞1，$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$≥a恒成立，则a的最大值是6．

分析 化简函数的表达式，利用基本不等式求出左侧的最小值，即可得出结论．

解答 解：对任意的x＞1，$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+2=6，当且仅当x=3时等号成立．
∴（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）min=6，
对任意的x＞1，$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$≥a恒成立，∴a≤6，
a的最大值是：6．
故答案为：6

点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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7．从分别写着1，2，3，4，5的5张卡片中，任意抽2次，每次抽1张，第1次抽出的卡片，记下数字放回后再抽第2次，求
（1）2次抽出的卡片上的数都是偶数的概率；
（2）2次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率．
12．若关于x的不等式x2-2ax-a2≤0的解集为A，且[0，1]⊆A，则a的取值范围是{a|$a≥\sqrt{2}-1或a≤-\sqrt{2}-1$}．
9．已知函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，求：
（1）求它的定义域；
（2）f（a）+f（$\frac{1}{a}$）的值．
（3）f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（-2）+f（-3）的值．
16．满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{3x-2y-2＞0}\\{x+4y+4＞0}\\{2x+y-6＜0}\end{array}}\right.$任意一点（x，y）都使不等式x+y+m≥0恒成立，则实数m的取值范围为（　　）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．[-2，+∞）D．（-∞，4]
6．命题P：?x∈R，$x+\frac{1}{x}＜a$成立，则P的否定为（　　）
A．?x∈R，$x+\frac{1}{x}＞a$成立B．?x∈R，$x+\frac{1}{x}＜a$成立C．?x∈R，$x+\frac{1}{x}≥a$成立D．?x∈R，$x+\frac{1}{x}≤a$成立
13．已知函数y=f（x），对于任意的x$∈[0，\frac{π}{2}）$满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，则下列不等式中成立的有②③④．
①$\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$＜f（$\frac{π}{4}$） ②$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$） ③f（0）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$） ④f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
10．若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）＞0对一切实数x∈R都成立；
（3）当f（4）=$\frac{1}{16}$时，解不等式f（x-3）•f（5-x2）≤$\frac{1}{4}$．
11．若关于x的方程|lnx|-$\frac{a}{x}$=0恰有3个根，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

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