题目内容
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.
(1)求证:CE⊥平面PAD;
(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.
(1)见解析(2)
【解析】(1)证明 因为PA⊥平面ABCD,CE?平面ABCD,
所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD,CE∥AB,
所以CE⊥AD.
又PA∩AD=A,
所以CE⊥平面PAD.
(2)解 由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中,DE=CD·cos 45°=1,CE=CD·sin 45°=1.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,
所以四边形ABCE为矩形.
所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+S△ECD=AB·AE+CE·DE=1×2+×1×1=,
又PA⊥平面ABCD,PA=1,
所以V四棱锥P-ABCD=S四边形ABCD·PA=××1=.
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