题目内容

【题目】对于数集X={﹣1,x1 , x2 , …,xn},其中0<x1<x2<…<xn , n≥2,定义向量集Y={ =(s,t),s∈X,t∈X},若对任意 ,存在 ,使得 ,则称X具有性质P.例如{﹣1,1,2}具有性质P.
(1)若x>2,且{﹣1,1,2,x}具有性质P,求x的值;
(2)若X具有性质P,求证:1∈X,且当xn>1时,x1=1;
(3)若X具有性质P,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1 , x2 , …,xn的通项公式.

【答案】
(1)解:选取 =(x,2),则Y中与 垂直的元素必有形式(﹣1,b),所以x=2b,

又∵x>2,∴只有b=2,从而x=4.


(2)解:取 =(x1,x1)∈Y,设 =(s,t)∈Y,满足 ,可得(s+t)x1=0,s+t=0,所以s、t异号.

因为﹣1是数集X中唯一的负数,所以s、t中的负数必为﹣1,另一个数是1,所以1∈X,

假设xk=1,其中1<k<n,则0<x1<1<xn

再取 =(x1,xn)∈Y,设 =(s,t)∈Y,满足 ,可得sx1+txn=0,

所以s、t异号,其中一个为﹣1

①若s=﹣1,则x1=txn>t≥x1,矛盾;

②若t=﹣1,则xn=sx1<s≤xn,矛盾;

说明假设不成立,由此可得当xn>1时,x1=1.


(3)解:[解法一]猜想:xi=qi1,i=1,2,3,…,n

记Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk},k=2,3,…,n

先证明若Ak+1具有性质P,则Ak也具有性质P.

任取 =(s,t),s、t∈Ak,当s、t中出现﹣1时,显然有 满足

当s、t中都不是﹣1时,满足s≥1且t≥1.

因为Ak+1具有性质P,所以有 =(s1,t1),s1、t1∈Ak+1,使得 ,从而s1、t1其中有一个为﹣1

不妨设s1=﹣1,

假设t1∈Ak+1,且t1Ak,则t1=xk+1.由(s,t)(﹣1,xk+1)=0,得s=txk+1≥xk+1,与s∈Ak矛盾.

所以t1∈Ak,从而Ak也具有性质P.

再用数学归纳法,证明xi=qi1,i=1,2,3,…,n

当n=2时,结论显然成立;

假设当n=k时,Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk}具有性质P,则xi=qi1,i=1,2,…,k

当n=k+1时,若Ak+1═{﹣1,x1,x2,…,xk+1}具有性质P,则Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk}具有性质P,

所以Ak+1═{﹣1,q,q2,…,qk1,xk+1}.

=(xk+1,q),并设 =(s,t)∈Y,满足 ,由此可得s=﹣1或t=﹣1

若t=﹣1,则xk+1= ,不可能

所以s=﹣1,xk+1=qt=qj≤qk且xk+1>qk1,因此xk+1=qk综上所述,xi=qi1,i=1,2,3,…,n

[解法二]设 =(s1,t1), =(s2,t2),则 等价于

记B={ |s∈X,t∈X且|s|>|t|},则数集X具有性质P,当且仅当数集B关于原点对称

注意到﹣1是集合X中唯一的负数,B∩(﹣∞,0)={﹣x2,﹣x3,﹣x4,…,﹣xn},共有n﹣1个数.

所以B∩(0,+∞)也有n﹣1个数.

由于 <…< ,已经有n﹣1个数

对以下三角形数阵: <…<

<…<

注意到 >…> ,所以 = =…=

从而数列的通项公式是xk=x1k1=qk1,k=1,2,3,…,n.


【解析】(1)在Y中取 =(x,2),根据数量积的坐标公式,可得Y中与 垂直的元素必有形式(﹣1,b),所以x=2b,结合x>2,可得x的值.(2)取 =(x1 , x1), =(s,t)根据 ,化简可得s+t=0,所以s、t异号.而﹣1是数集X中唯一的负数,所以s、t中的负数必为﹣1,另一个数是1,从而证出1∈X,最后通过反证法,可以证明出当xn>1时,x1=1.(3)[解法一]先猜想结论:xi=qi1 , i=1,2,3,…,n.记Ak═{﹣1,x1 , x2 , …,xk},k=2,3,…,n,通过反证法证明出引理:若Ak+1具有性质P,则Ak也具有性质P.最后用数学归纳法,可证明出xi=qi1 , i=1,2,3,…,n;
[解法二]设 =(s1 , t1), =(s2 , t2),则 等价于 ,得到一正一负的特征,再记B={ |s∈X,t∈X且|s|>|t|},则可得结论:数集X具有性质P,当且仅当数集B关于原点对称.又注意到﹣1是集合X中唯一的负数,B∩(﹣∞,0)={﹣x2 , ﹣x3 , ﹣x4 , …,﹣xn},共有n﹣1个数,所以B∩(0.+∞)也有n﹣1个数.最后结合不等式的性质,结合三角形数阵加以说明,可得 = =…= ,最终得到数列的通项公式是xk=x1k1=qk1 , k=1,2,3,…,n.
【考点精析】利用元素与集合关系的判断对题目进行判断即可得到答案,需要熟知对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.

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