题目内容
【题目】已知圆过
,
,且圆心在直线
上.
(Ⅰ)求此圆的方程.
(Ⅱ)求与直线垂直且与圆相切的直线方程.
(Ⅲ)若点为圆
上任意点,求
的面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
或
;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)圆过两点,则圆心必在线段
的垂直平分线上,可先求出线段
的垂直平分线的方程,再与已知直线方程联立方程组解得圆心坐标,然后求出半径可得标准方程;
(Ⅱ)与题直线垂直,可设方程为,再由圆心到切线距离等于半径求得参数
即可;
(Ⅲ)面积的最大值即
点到直线
距离最大时取得,求出圆心
到直线
的距离
,最大距离为
,最小距离为为
,从而可得最大面积.
试题解析:
(Ⅰ)易知中点为
,
,
∴的垂直平分线方程为
,
即,
联立,解得
.
则,
∴圆的方程为
.
(Ⅱ)易知该直线斜率为,
不妨设该直线方程为,
由题意有,解得
.
∴该直线方程为或
.
(Ⅲ),即
,
圆心到
的距离
.
∴
.
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