题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
在定义域内不单调，求实数
的取值范围；
（2）若函数
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
（3）若
且
，求证： 
.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】试题分析：
(1)对函数求导有
，则原问题等价于方程
有大于零的实根，结合二次方程根的分布理论可得
；
(2)原问题等价于
在区间
内恒成立，结合均值不等式的结论可得
；
(3)当
时，不等式显然成立，当
，等价转化后结合（2）的结论即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）
的定义域为
因为
在定义域内不单调，所以方程
有大于零的实根，
函数
的图像经过点
，
， 
（2）
函数
在区间
内单调递增，
在区间
内恒成立，即
在区间
内恒成立
在
时取得最小值
， 
（3）当
时，不等式显然成立，
当
，只需证明
，令
，则只需证明
成立，由（2）可知
在
上是增函数，
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