题目内容

6.已知函数f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}(a-1){x^2}$+bx+1(a,b是常数,a>0),曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线与y轴垂直.
(1)求a与b满足的关系式
(2)求f(x)在(0,+∞)上的极值.

分析 (1)根据导数的几何意义,即可求出;
(2)根据导数和函数的极值的关系即可求出,先求导,再判断单调性,继而得到极值.

解答 解:(1)f'(x)=x2-(a-1)x+b,f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线与y轴垂直,
则f'(-1)=1+(a-1)+b=a+b=0,即a与b的关系式为a+b=0;
(2)由(1)可知b=-a,则f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}(a-1){x^2}$-ax+1,
∴f'(x)=x2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1),其中a>0
令f'(x)>0得,x<-1或x>a;令f'(x)<0得,-1<x<a,
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增
∴f(x)极大值=f(-1)=$-\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$(a-1)+a+1=$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$,
f(x)极小值=f(a)=$\frac{1}{3}$a3-$\frac{1}{2}$a2(a-1)-a2+1=-$\frac{1}{6}$a3-$\frac{1}{2}$a2+1,
∴f(x)有极大值为$\frac{1}{2}$a+$\frac{7}{6}$,极小值为-$\frac{1}{6}$a3-$\frac{1}{2}$a2+1.

点评 本题重点考查利用导数研究函数的性质,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用,属于中档题.

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