题目内容
【题目】焦点在轴上的椭圆
经过点
,椭圆
的离心率为
.
,
是椭圆的左、右焦点,
为椭圆上任意点.
(1)若面积为
,求
的值;
(2)若点为
的中点(
为坐标原点),过
且平行于
的直线
交椭圆
于
两点,是否存在实数
,使得
;若存在,请求出
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在
满足条件.
【解析】
(1)先求出椭圆方程,设,利用余弦定理可得
的关系,结合面积可求
的值,从而得到
的值.
(2)分别设直线的方程为
、直线
的方程为
,联立直线
的方程和椭圆的方程,消去
后得到关于
的方程,利用弦长公式和韦达定理可求
,联立直线
的方程和椭圆方程可求出
的坐标后可得
,两者联立后可求
的值.
解:(1)由已知可得,
,
,
解得,
,
所以椭圆的标准方程为
.
设,
,
,
由余弦定理得,又
,
故即
,又
,
所以即
,
,故
,所以
.
(2)若直线的斜率不存在时,
,
,
所以.
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
设,
.
联立直线与椭圆方程
,消去y,得
,
所以.
因为,设直线
的方程为
,
联立直线与椭圆方程
,消去
,得
,解得
.
,
,
同理,
,
因为,
,故
,存在
满足条件,
综上可得,存在满足条件.
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