题目内容
【题目】已知函数,
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)若函数和
的图像有两个交点,它们的横坐标分别为
,求证:
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)先对函数求导,得到,求出
,
,进而可得出结果;
(2)先令,对函数求导,得到
,分别讨论
,
,
三种情况,用导数研究函数单调性,最值等,即可证明结论成立.
(1)因为,
所以,
所以,又
,
所以切线方程为:,即
.
(2)令,依题意
有两个零点.
又,
①当,则
,
只有一个零点,
②当,由
得
或
.
若,则
,故当
时,
,
因此在
上单调递增.
又当时,
,所以
不存在两个零点.
若,则
,故当
时,
;
当时,
.
因此在
单调递减,在
)单调递增.
又当时,
,所以
不存在两个零点.
③当,则当
时,
;当
时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
又,
,取
满足
且
,
则,
故存在两个零点;
不妨设,由③知
,
,
,
在
上单调递减,所以
等价于
,即
.
由于,而
,
所以.
设,则
.
所以当时,
,而
,故当
时,
.
从而,故
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