Question

16．已知函数f（x）=log_a[（a-1）x-1]．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由真数大于零可求出答案；
（2）利用函数的单调性求出f（x）的最小值，只需让f（x）的最小值大于0即可．

解答 解：（1）由f（x）=log_a[（a-1）x-1]有意义得：
      （a-1）x-1＞0，且a＞0，a≠1
当a＞1时，x＞$\frac{1}{a-1}$；
当0＜a＜1时，x＜$\frac{1}{a-1}$．
∴当a＞1时，f（x）的定义域为（$\frac{1}{a-1}$，+∞）；
 当0＜a＜1时，f（x）的定义域为（-∞，$\frac{1}{a-1}$）．
（2）令g（x）=（a-1）x-1，
则当a＞1时，g（x）=（a-1）x-1在[2，+∞）上是增函数，
∴f（x）=log_a[（a-1）x-1]在[2，+∞）上是增函数．
当0＜a＜1时，g（x）=（a-1）x-1在[2，+∞）上是减函数，
∴f（x）=log_a[（a-1）x-1]在[2，+∞）上是增函数．
综上所述，f（x）=log_a[（a-1）x-1]在[2，+∞）上是增函数．
∴f_min（x）=f（2）=log_a（2a-3）．
∵对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
∴f_min（x）＞0，
即log_a（2a-3）＞0．
①当a＞1时，2a-3＞1，解得a＞2．
②0＜a＜1时，0＜2a-3＜1解得$\frac{3}{2}$＜a＜2（舍）．
a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题主要考查了对数函数的定义域、复合函数的单调性及分类讨论思想，属于中档题．