题目内容
12.已知双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)和圆O:x2+y2=b2.过双曲线C上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.若△PAB可为正三角形,则双曲线C的离心率e的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$,+∞).分析 由于△PAB可为正三角形,可得∠OPA=30°°,OP=2b≥a,再利用离心率计算公式即可得出.
解答 解:∵△PAB可为正三角形,
∴∠OPA=30°,
∴OP=2b
则2b≥a,
∴$\frac{b}{a}$≥$\frac{1}{2}$,
∴双曲线C的离心率e≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
∴双曲线C的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$,+∞).
故答案为:[$\frac{\sqrt{5}}{2}$,+∞).
点评 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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2.已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-3,x>0\\{3^x},x≤0\end{array}\right.$,则f(f(2))的值是( )
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | 3 | C. | $-\frac{1}{3}$ | D. | -3 |
7.下列说法正确的是( )
A. | 若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α | |
B. | 若直线a在平面α外,则a∥α | |
C. | 若直线a∥b,b?α,则a∥α | |
D. | 若直线a∥b,b?α,则直线a平行于平面α内的无数条直线 |
1.双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,若C上存在点P,使得|PF1|=k|PF2|(k>1),则双曲线C的离心率e的取值范围是( )
A. | (k,$\frac{k+1}{k-1}$] | B. | (1,$\frac{k+1}{k-1}$] | C. | (1,k] | D. | [k,+∞) |