Question

8．已知平面四边形ABCD的每一个内角都小于180°，AB=1，BC=3，CD=2，DA=2．
（1）若∠C=60°，求∠A；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，利用余弦定理解△BCD得到BD，再由△ABD解∠A．
（2）利用四边形的面积以及BD的表示得到S=sinA+3sinC，①和3cosC-cosA=2，②两式平方相加变形，得到S²=6-6cos（A+C），利用余弦函数的有界性求S的最大值．

解答 解：（1）因为AB=1，BC=3，CD=2，DA=2，∠C=60°，所以在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC×CD×cosC=9+4-2×3×2×$\frac{1}{2}$=7，
在△ABD中，cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}-B{D}^{2}}{2AB×AD}$=$\frac{1+4-7}{2×1×2}=-\frac{1}{2}$，所以A=120°；
（2）四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$AB×AD×sinA+$\frac{1}{2}$BC×CD×sinC=sinA+3sinC，①
又BD²=BC²+CD²-2BC×CD×cosC=AB²+AD²-2AB×ADcosA，整理得3cosC-cosA=2，②
①²+②²=S²+4=10+6（sinAsinC-cosAcosC），
所以S²=6-6cos（A+C），
所以当cos（A+C）=-1时，S²最大为12，所以S最大为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解三角形；用到了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．