题目内容
【题目】椭圆C：
的离心率是
，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为
．
求椭圆C的方程；
过点
的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有
？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在定点
满足题意。
【解析】
（1）利用已知条件
，求解a，b，即可得到椭圆方程．
（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：y＝kx+1，联立直线与椭圆方程，设A，B坐标，假设存在定点Q（0，t）符合题意，利用韦达定理，把
转化为kQA＝﹣kQB，求解即可．
（1）因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为
，得
，且离心率是
，所以
得
，
，所以椭圆C的方程为：；
当直线l斜率存在时，设直线l方程：
，
由
得
，
，
设
，
假设存在定点
符合题意，
，
，
，
上式对任意实数k恒等于零，
，即
，
．
当直线l斜率不存在时，A，B两点分别为椭圆的上下顶点
，
，
显然此时，
综上，存在定点
满足题意
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