题目内容
【题目】定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆
与椭圆
是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆
的长轴长是4，椭圆
，短轴长是1，点
，
分别是椭圆的左焦点与右焦点.
（1）求椭圆，的方程；
（2）过的直线交椭圆于点
，
，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题
(1)利用题意结合“相似”的定义设椭圆
的半焦距为
，椭圆
的半焦距为
，由a,b,c的关系可得：椭圆的方程为
，椭圆的方程是
；
(2)由题意可得三角形面积的表达式
，结合均值不等式的结论可得
的面积的最大值为.
试题解析：
解：（1）设椭圆
的半焦距为
，椭圆
的半焦距为
，由已知
，
，
，
∵椭圆与椭圆的离心率相等，即
，
∴
，即
，
∴
，即
，∴
，
∴椭圆的方程为
，椭圆的方程是；
（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为
.
联立：
，得
，即
，
∴
，设
，
，
则
，
，∴
，
的高即为点
到直线
：
的距离
，
∴的面积
，
∵
，等号成立当且仅当
，即
时，
∴
，即的面积的最大值为.
练习册系列答案
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（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，
）的函数解析式
；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表：
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望。
