Question

【题目】已知椭圆，离心率.左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

（1）求该椭圆的方程；

（2）过椭圆的左焦点的任意一条直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点使得轴平分,若存在，求出定点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）在椭圆中，代入，解得，所以，结合,可解出，得到椭圆方程；（2）假设在轴上存在点，使得轴平分，先考虑斜率不存在，然后再研究斜率存在的情况，设出，联立椭圆方程，得到韦达定理，结合，可解出的坐标.

（1）在椭圆中，代入，解得

所以过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

所以解得：，

所以椭圆方程为：

（2）假设在轴上存在点，使得轴平分,

当斜率不存在时，点为x轴上任意一点，

当斜率存在时，可设，与椭圆交于两点,

联立和得

所以，

又因为轴平分

所以，即

整理得，

即，

化简得，即点为

所以在轴上存在定点使得轴平分