Question

【题目】已知椭圆： 过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）， 是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于， 两点， 交椭圆于另一个点，求面积取得最大值时直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：(1)由条件布列关于的方程组，得到椭圆的方程；（2）设： ，分类，联立方程，利用根与系数关系表示面积， ，然后利用均值不等式求最值.

试题解析：

（1）由题意得，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由题知直线的斜率存在，不妨设为，则： .

若时，直线的方程为， 的方程为，易求得，

，此时.

若时，则直线： .

圆心到直线的距离为.

直线被圆截得的弦长为.

由 ，

得，

故 .

所以

.

当时上式等号成立.

因为，

所以面积取得最大值时直线的方程应该是.