题目内容
2.已知向量$\overrightarrow{a}$═(2,sinθ)与$\overrightarrow{b}$=(1,cosθ)互相平行,其中θ∈(0,$\frac{π}{2}$)(1)求sin2θ和cos2θ的值;
(2)若sin(θ-φ)=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,0<φ<$\frac{π}{2}$,求φ的值.
分析 (1)由向量平行得到θ的等式,根据基本关系式以及倍角公式求值;
(2)由sin(θ-φ)=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,结合两角范围求出cos(θ-φ),再利用cosφ=cos[θ-(θ-φ)]求φ.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$互相平行,
∴sinθ=2cosθ,
代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cosθ=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$,
又θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.…(3分)
∴$sin2θ=2sinθcosθ=\frac{4}{5}$$cos2θ={cos^2}θ-{sin^2}θ=-\frac{3}{5}$…(5分)
(2)∵θ∈(0,$\frac{π}{2}$),0<φ<$\frac{π}{2}$,
∴$-\frac{π}{2}<θ-$φ<$\frac{π}{2}$,
由sin(θ-φ)=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,得cos(θ-φ)=$\sqrt{1-si{n}^{2}(θ-φ)}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$,…(7分)
∴cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵$φ∈(0,\frac{π}{2})$,
∴$φ=\frac{π}{4}$…(10分)
点评 本题考查了向量平行的性质运用以及三角函数式的化简求值;注意三角函数符号以及名称.
练习册系列答案
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休闲方式 性别 | 看电视 | 看书 | 合计 |
男 | 10 | 50 | 60 |
女 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 20 | 60 | 80 |
(Ⅱ)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查3名在该社区的男性,设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X.求X的数学期望和方差.
P(X2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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A. | (1,1,2) | B. | (2,2,1) | C. | (1,1,1) | D. | $(1\;,\;1\;,\;\frac{1}{2})$ |