Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为 ，点M的横坐标为 ．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；
（3）设直线PA的斜率为k1 ， 直线MA的斜率为k2 ， 求k1k2的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知：离心率e= = ，

准线方程x= = ，

解得：a=3，c=2，

由b2=a2﹣c2=5，

∴求椭圆C的标准方程为

（2）解：由∠FPA为直角，

∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，± ），

∴圆心为O（ ，0），半径为 ，

∴丨PO丨= ，即 = ，整理得：4x2﹣9x﹣9=0，

解得：x=﹣ 或x=3（舍去），

∴y=± =± ，

∴P点坐标为：

（3）解：设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点 ，

∵点F，P，M共线，x1≠﹣2，

∴ ，即 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

又∵点P在椭圆C上，

∴ ，

∴ ，

∵﹣2＜x1＜3，

∴ ，

故k1k的取值范围为

【解析】（1）由椭圆的离心率e= = ，准线方程x= = ，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=5，即可求得椭圆C的标准方程；（2）由∠FPA为直角，以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，± ），求得圆心为O（ ，0）及半径为 ，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P点坐标；（3）设点P（x1 ， y1）（﹣2＜x1＜3），点M ，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标， ． ，则 ．由此可导出k1k2的取值范围．