题目内容
【题目】已知.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)若使得
都有
恒成立,且
,求满足条件的实数
的取值集合.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)求出的定义域,然后对
求导,再分
和
两种情况求出单调区间即可;
(2)根据条件可知,函数存在最小值且
,求出
的最小值,求出使得
时,
的值即可.
解:(1)由,得
.
①当时,
在
上恒成立,
在
上单调递增;
②当时,由
得
,由
,得
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
综上:①当时,
在
上单调递增,无递减区间;
②当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由题意函数存在最小值且
,
①当时,由(1)上单调递增且
,
当x时,
,不符合条件;
②当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
只需
即
,
记则
,
由得
,由
得
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
,
即满足条件的取值集合为
.

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