Question

5．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=$\frac{1}{4}$，且S₁，S₂，S₃+$\frac{1}{8}$成等差数列；公差不为0的等差数列{b_n}的前n项和T_n满足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c为常数），且b₂=24．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通顶公式；
（2）记数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和为Q，比较Q与$\frac{{S}_{n}}{2}$的大小关系．

Answer 1

分析 （1）利用S₁，S₂，S₃+$\frac{1}{8}$成等差数列，可得2S₂=S₁+S₃+$\frac{1}{8}$，又a₂=$\frac{1}{4}$，从而可得a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$；利用$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=c•{b}_{2}}\\{{T}_{2}=2c•{b}_{3}}\end{array}\right.$，及b₂=24，可推出b_n=12+12（n-1）=12n；
（2）由（1）知S_n=$1-（\frac{1}{2}）^{n}$＞$\frac{1}{2}$推出$\frac{{S}_{n}}{2}$＞$\frac{1}{4}$，通过裂项可知$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{6}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，从而并项相加可知Q$＜\frac{1}{6}$，得到$\frac{{S}_{n}}{2}$＞Q．

解答 解：（1）已知数列{a_n}的公比为q，因为S₁，S₂，S₃+$\frac{1}{8}$成等差数列，
所以2S₂=S₁+S₃+$\frac{1}{8}$，即${a}_{2}={a}_{3}+\frac{1}{8}$，
又a₂=$\frac{1}{4}$，所以${a}_{3}={a}_{2}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$，
所以q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，从而a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以${a}_{n}=\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$；
∵$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c为常数），∴$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=c•{b}_{2}}\\{{T}_{2}=2c•{b}_{3}}\end{array}\right.$，
又数列{b_n}的公差d不为零，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}-d=c•{b}_{2}}\\{2{b}_{2}-d=2c•（{b}_{2}+d）}\end{array}\right.$，
又∵b₂=24，∴$\left\{\begin{array}{l}{24-d=24c}\\{2×24-d=2c（24+d）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{1}{2}}\\{d=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{d=0}\end{array}\right.$（舍），
从而b₁=b₂-d=24-12=12，
所以b_n=12+12（n-1）=12n；
（2）由（1）知S_n=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$1-（\frac{1}{2}）^{n}$＞$\frac{1}{2}$，所以$\frac{{S}_{n}}{2}$＞$\frac{1}{4}$，
∵${T}_{n}=12n+\frac{n（n-1）}{2}×12$=6n（n+1），
∴$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{6}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
从而Q=$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}+…+\frac{1}{{T}_{n}}$
=$\frac{1}{6}$[（$1-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{6}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{6}$，
所以$\frac{{S}_{n}}{2}$＞Q．

点评 本题考查等差、等比数列，挖掘隐含条件、递推数列是解题的关键，属于中档题．