Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3x}^{2}+2ax-a-6，x＜0}\\{{3x}^{2}-（a+3）x+a，x≥0}\end{array}\right.$
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当a≤1且存在三个不同的实数x₁，x₂，x₃使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），求证：-$\frac{2}{3}$≤x₁+x₂+x₃＜0．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的解析式，分别求得x＜0和x≥0时的最小值，即可得到；
（2）先作出-3≤a≤0时f（x）的图象，分别判断x＜0和x≥0时的单调性，不妨设x₁＜x₂＜x₃，则有x₂+x₃=2×$\frac{a+3}{6}$=$\frac{a+3}{3}$，即有x₁+x₂+x₃=x₁+$\frac{a+3}{3}$，再由x=0时的函数值，解方程可得小于0的x₁，再由a的范围，得到[-3，0]的范围，同样的方法，再讨论当0＜a≤1时，x₁+x₂+x₃的范围，最后求并集即可得证．

解答 （1）解：当a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+2x-7，x＜0}\\{3{x}^{2}-4x+1，x≥0}\end{array}\right.$，
当x＜0时，y=3x²+2x-7=3（x+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{22}{3}$，在x=-$\frac{1}{3}$时取得最小值，
且为-$\frac{22}{3}$；
当x≥0时，y=3x²-4x+1=3（x+$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，在[0，+∞）递增，则x=0时，取得最小值，且为1．
综上可得f（x）的最小值为-$\frac{22}{3}$．
（2）证明：当a＜-3时，函数在x＜0递减，x＞0递增，不可能有3个实数解；
作出-3≤a≤0时f（x）的图象，如右．
当x＜0时，f（x）递减，x≥0时，在[0，$\frac{a+3}{6}$）递减，
在（ $\frac{a+3}{6}$，+∞）递增，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，则有x₂+x₃=2×$\frac{a+3}{6}$=$\frac{a+3}{3}$，
即有x₁+x₂+x₃=x₁+$\frac{a+3}{3}$，
令x=0时，f（0）=a，
令f（x₁）=a，（x₁＜0），
则有3x²+2ax-2a-6=0，
解得x=$\frac{-2a±\sqrt{4（{a}^{2}+6a+18）}}{6}$=$\frac{-a±\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
由于-3≤a≤0，则x₁=$\frac{-a-\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
即有x₁+x₂+x₃=1-$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
由-3≤a≤0，则（a+3）²+9∈[9，18]，
则有$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
即有1-$\sqrt{2}≤$x₁+x₂+x₃＜0；
当0＜a≤1时，由x₁+x₂+x₃=1-$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
可得（a+3）²+9∈（18，25]，
则有$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$∈（$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]，
即有-$\frac{2}{3}$≤x₁+x₂+x₃＜1-$\sqrt{2}$．
则有-$\frac{2}{3}$≤x₁+x₂+x₃＜0．

点评 本题考查分段函数的运用，考查二次函数的最值的求法，同时考查二次函数的单调性的运用，通过图象观察得到交点是解题的关键