题目内容
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分、第3小题满分6分.
已知
的顶点
在椭圆
上,
在直线
上,
且
.
(1)求边
中点的轨迹方程;
(2)当
边通过坐标原点
时,求
的面积;
(3)当
,且斜边
的长最大时,求
所在直线的方程.
已知





且

(1)求边

(2)当



(3)当



(1)
(2)
(3)


(3)

(1)设
所在直线的方程为
由
得
. (2分)
因为
在椭圆上,所以
.
设
两点坐标分别为
,中点为
则
,
,
所以中点轨迹方程为
(4分)
(2)
,且
边通过点
,故
所在直线的方程为
.
此时
,由(1)可得
,所以
(6分)
又因为
边上的高
等于原点到直线
的距离,所以
(8分)
. (10分)
(3)由(1)得
,
,
所以
. (12分)
又因为
的长等于点
到直线
的距离,即
. (14分)
所以
.
所以当
时,
边最长,(这时
)
此时
所在直线的方程为
. (16分)


由


因为



设



则



所以中点轨迹方程为

(2)





此时



又因为





(3)由(1)得


所以

又因为




所以

所以当



此时



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