Question

14．求下列定积分：
（1）${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$cos²xdx；
（2）${∫}_{-1}^{2}$|x²-x|dx．

Answer 1

分析 （1）由和的积分等于积分的和展开，然后求出被积函数的原函数，直接由微积分基本定理得答案；
（2）把积分区间分段，取绝对值，然后求出被积函数的原函数，再由微积分基本定理得答案．

解答 解：（1）${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$cos²xdx=${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$$\frac{1+cos2x}{2}$dx
=${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$$\frac{1}{2}$dx+${∫}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$$\frac{1}{2}$cos2xdx
=（$\frac{1}{2}$x）${|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$+（$\frac{1}{4}$sin2x）${|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$；
（2）${∫}_{-1}^{2}$|x²-x|dx
=${∫}_{-1}^{0}$（x²-x）dx+${∫}_{0}^{1}$（x-x²）dx+${∫}_{1}^{2}$（x²-x）dx
=（$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²）${|}_{-1}^{0}$+（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{1}$+（$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²）${|}_{1}^{2}$
=$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题．