Question

9．设数集A满足：若x∈A（x≠1，x≠0），则$\frac{1}{1-x}$∈A
（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为单元素集合，并说明埋由；
（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为$\frac{14}{3}$，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．

Answer 1

分析 （1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；
（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；
（3）先求出集合A中元素的个数，分别讨论①若x²=1，②若（$\frac{1}{1-x}$）²=1，③${（\frac{x-1}{x}）}^{2}$=1的情况，求出x的值，从而求出集合A．

解答 （1）证明：若x∈A，则$\frac{1}{1-x}$∈A．
又∵2∈A，
∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈A
∵-1∈A，∴$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A．
∵$\frac{1}{2}$∈A，∴$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A．
∴A中另外两个元素为-1，$\frac{1}{2}$；
（2）若A为单元素集，则x=$\frac{1}{1-x}$，即x²-x+1=0，方程无解．
∴x≠$\frac{1}{1-x}$，
∴A不可能为单元素集；
（3）由x∈A，$\frac{1}{1-x}$∈A，
得：$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}$=$\frac{x-1}{x}$∈A，
得：$\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}$=x∈A，
∴A={x，$\frac{1}{1-x}$，$\frac{x-1}{x}$}，
而x•$\frac{1}{1-x}$•$\frac{x-1}{x}$=1，
①若x²=1，解得：x=±1，不合题意，
②若（$\frac{1}{1-x}$）²=1，解得：x=0，不合题意，
∴只能${（\frac{x-1}{x}）}^{2}$=1，解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴A={$\frac{1}{2}$，2，-1}．

点评 本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．