题目内容
【题目】已知函数,
图象上两相邻对称轴之间的距离为
;_______________;
(Ⅰ)在①的一条对称轴
;②
的一个对称中心
;③
的图象经过点
这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中,然后确定函数的解析式;
(Ⅱ)若动直线与
和
的图象分别交于
、
两点,求线段
长度的最大值及此时
的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(Ⅰ)选①或②或③,;(Ⅱ)当
或
时,线段
的长取到最大值
.
【解析】
(Ⅰ)先根据题中信息求出函数的最小正周期,进而得出
.
选①,根据题意得出,结合
的取值范围可求出
的值,进而得出函数
的解析式;
选②,根据题意得出,结合
的取值范围可求出
的值,进而得出函数
的解析式;
选③,根据题意得出,结合
的取值范围可求出
的值,进而得出函数
的解析式;
(Ⅱ)令,利用三角恒等变换思想化简函数
的解析式,利用正弦型函数的基本性质求出
在
上的最大值和最小值,由此可求得线段
长度的最大值及此时
的值.
(Ⅰ)由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为
,则该函数的最小正周期为
,
,此时
.
若选①,则函数的一条对称轴
,则
,
得,
,当
时,
,
此时,;
若选②,则函数的一个对称中心
,则
,
得,
,当
时,
,
此时,;
若选③,则函数的图象过点
,则
,
得,
,
,
,解得
,此时,
.
综上所述,;
(Ⅱ)令,
,
,
,当
或
时,即当
或
时,
线段的长取到最大值
.
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