题目内容
【题目】已知函数f(x)＝(x2－ax)ex(x∈R)，a为实数．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a的取值范围．
【答案】（1）(0，＋∞)和(－∞，－2)； （2）
.
【解析】
(1)利用导数求函数f(x)的单调增区间.(2)先求导得f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex，记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
数形结合分析得到
，解不等式即得a的取值范围.
(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex.
由f′(x)>0x>0或x<－2.
故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)．
(2)由f(x)＝(x2－ax)ex，x∈Rf′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex.
记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.
依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
结合g(x)的图像特征得，
即a≥
，所以a的取值范围是
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