题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)函数是否有极值?若有,求出极值;若没有,说明理由.
(2)若对任意,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)求得函数的导数,利用导数求得函数的单调性,进而可求解函数的极值.
(2)利用函数的导数,求得
,把使得
对
成立,转化为
对于
恒成立,结合(1)中函数的单调性,分类讨论,即可求解.
(1)由题意,函数的定义域为
,且
,
当时,
,
的单调增区间为
,
没有极值,
当时,令
,解得
;令
,解得
,
所以的单调增区间为
,单调减区间为
,
∴有极大值
,没有极小值.
(2)由,
令,则
,
当时,
,
在
上是减函数,
所以当时,
,即
,
∴要使得对
成立,等价于
对于
恒成立,
当时,由(1)知
,
,所以当
成立,必有
,
当时,
,由(1)有
,从而
不恒成立,
当时,令
,
则,
所以在
上是减函数,所以
时,
,
综上,可得的取值范围是
.
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