Question

15．已知函数f（x）=e^x+x²（x＜0），g（x）=x²-4x+$\frac{9}{2}$+ln（x+t-2），若f（x）的图象上存在一点P，它关于直线x=1的对称点P′落在y=g（x）的图象上，则t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）
• B． （-$\sqrt{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）
• C． （-$\frac{1}{\sqrt{e}}$，$\sqrt{e}$）
• D． （0，$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由题意可得e^x₀-$\frac{1}{2}$-8x₀-ln（t-x₀）=0有负根，函数函数h（x）=e^x-8x-$\frac{1}{2}$-ln（t-x）为增函数，由此能求出t的取值范围．

解答 解：f（x）的图象上存在一点P（x，y），关于直线x=1的对称点P′（2-x，y），
∴e^x+x²=（x-2）²-4（2-x）+$\frac{9}{2}$+ln（2-x+t-2）=（x-2）²-4（2-x）+$\frac{9}{2}$+ln（t-x），
即e^x-8x-$\frac{1}{2}$-ln（t-x）=0，
存在x₀∈（-∞，0），即e^x₀-$\frac{1}{2}$-8x₀-ln（t-x₀）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，e^x₀-$\frac{1}{2}$8x₀-ln（t-x₀）也趋近于负无穷大，
∴函数h（x）=e^x-8x-$\frac{1}{2}$-ln（t-x）为增函数，
∴h（0）=$\frac{1}{2}$-lnt＞0，
∴lnt＜ln$\sqrt{e}$，
∴0＜t＜$\sqrt{e}$
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．