Question

10．已知a+a^-1=5，求下列各式的值：
（1）a²+a^-2；
（2）a${\;}^{\frac{1}{2}}$-a${\;}^{-\frac{1}{2}}$；
（3）a²-a^-2．

Answer 1

分析 （1）a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=25-2=23，
（2）（a${\;}^{\frac{1}{2}}$-a${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=a+a^-1-2=3，从而解得；
（3）（a-a^-1）²=（a+a^-1）²-4=25-4=21，再利用平方差公式求得．

解答 解：（1）a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=25-2=23，
（2）∵（a${\;}^{\frac{1}{2}}$-a${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=a+a^-1-2=3，
∴a${\;}^{\frac{1}{2}}$-a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$±\sqrt{3}$，
（3）∵（a-a^-1）²=（a+a^-1）²-4=25-4=21，
∴a-a^-1=±$\sqrt{21}$，
∴a²-a^-2=（a+a^-1）（a-a^-1）=±5$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了完全平方公式与平方差公式的应用．