Question

7．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0且g（-3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-3，0）∪（0，3）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．

解答 解：设F（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，则F′（x）=$\frac{g′（x）f（x）-g（x）f′（x）}{{f}^{2}（x）}$，
∵当x＜0时，f′（x）g（x）-f （x）g′（x）＞0，
∴g′（x）f （x）-g（x）f′（x）＜0，
∴F′（x）=$\frac{g′（x）f（x）-g（x）f′（x）}{{f}^{2}（x）}$＜0，
∴F（x）在（-∞，0）上为减函数；
∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴F（-x）=$\frac{g（-x）}{f（-x）}=\frac{g（x）}{-f（x）}$=-F（x），?
∴F（x）为R上的奇函数，故F（x）在（0，+∞）上亦为减函数．?
∵g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．?
可知F（x）＜0的解集为（-3，0）∪（3，+∞）．
∵不等式f（x）g（x）＜0?f²（x）•$\frac{g（x）}{f（x）}$＜0?F（x）＜0，
∴f（x）g（x）＜0的解集就是F（x）＞0的解集（-3，0）∪（3，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造函数思想与数形结合思想及等价转化思想的综合运用，考查推理分析能力，属于中档题．