题目内容
【题目】已知数列
和
满足：
，其中
为实数，
为正整数.
（1）对任意实数，求证：
不成等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）当
时，数列
是等比数列.
【解析】
试题（1）证明否定性命题，可用反证法.如本题中可假设存在
，使
成等比数列，则可由
来求，若求不出，说明假设错误，结论是不存在，
，但这个式子化简后为
，不可能成立，即不存在；（2）要判定
是等比数列，由题意可先求出的递推关系，
，这时还不能说明就是等比数列，还要求出
，
，只有当
时，数列才是等比数列，因此当
时，不是等比数列，当时，是等比数列.
（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,
即
矛盾.
所以不成等比数列. 6分
（2）因为
9分
又,
所以当，
，(
为正整数)，此时不是等比数列： 11分
当时，，由上式可知
，∴
(为正整数) ，
故当时，数列是以
为首项，－
为公比的等比数列. 14分
【题目】在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.
（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数
、
的值；
区间 | [75，80） | [80，85） | [85，90） | [90，95） | [95，100] |
人数 | 50 | a | 350 | 300 | b |
（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；
（3）在根据（2）抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望（即均值）.
【题目】中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则使按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中
寸表示115寸
分（1寸
分），已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（ ）
节气 | 冬至 | 小寒（大雪） | 大寒（小雪） | 立春（立冬） | 雨水（霜降） | 惊蛰（寒露） |
晷影（寸） | 135 |
|
|
|
|
|
节气 | 春分（秋分） | 清明（白露） | 谷雨（处暑） | 立夏（立秋） | 小满（大暑） | 芒种（小暑） | 夏至 |
晷影（寸） | 75.5 |
|
|
|
|
| 16.0 |
A.72.4寸B.81.4寸C.82.0寸D.91.6寸
【题目】为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下表：
未发病 | 发病 | 合计 | |
未注射疫苗 | 40 |
|
|
注射疫苗 | 60 |
|
|
合计 | 100 | 100 | 200 |
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为
.
（1）求
列联表中的数据
的值；
（2）在图中绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
（3）在出错概率不超过
的条件下能否认为疫苗有效？
附：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
