题目内容
【题目】如图，四棱锥
的一个侧面
为等边三角形，且平面
平面
，四边形是平行四边形，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）由面面垂直的性质可得
平面
，即可证得
（2）作
于点
，过点作
于点
，连接
，以为坐标原点，以
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面
法向量，利用向量夹角即可求出.
（1）证明：在
中，
，
，
，
∴
.
又平面
平面
，
平面
平面
，
∴平面，∴.
（2）如图，作于点，
则
平面，
过点作于点，连接，
以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则
，
，
，
，
，
，
由（1）知平面
的一个法向量为
，
设平面的法向量为
，
则
，即
，
取
，
设平面与平面所成二面角的平面角为
，
则
.
所以二面角
的余弦值为.
超能学典应用题题卡系列答案
【题目】学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的
，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的
，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的
列联表：
对教师管理水平好评 | 对教师管理水平不满意 | 合计 | |
对教师教学水平好评 | |||
对教师教学水平不满意 | |||
合计 |
请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？
（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量
.
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求的数学期望和方差.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（
，其中
）
【题目】2019年高考刚过，为了解考生对全国2卷数学试卷难度的评价，随机抽取了某学校50名男考生与50名女考生，得到下面的列联表：
非常困难 | 一般 | |
男考生 | 20 | 30 |
女考生 | 40 | 10 |
（1）分别估计该学校男考生、女考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率；
（2）从该学校随机抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率.