题目内容
【题目】已知数列的首项为1,且
,数列
满足
,
,对任意
,都有
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)令,数列
的前
项和为
.若对任意的
,不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)
【解析】
试题(1)由,得
,又
,两式相减得
,整理得
,即
,又因为
,
,
利用累积法得,
从而可求出数学的通项公式为
;
在数列中,由
,得
,且
,
所以数学是以首项为
,公比为
的等比数列,从而数列
的通项公式为
.
(2)由题意得,
,
两式相减得,
由等比数列前项和公式可求得
,
由不等式恒成立,得
恒成立,
即(
)恒成立,
构造函数(
),
当时,
恒成立,则
不满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,
恒成立,则
满足条件.
综上所述,实数的取值范围是
.
试题解析:(1)∵,∴
(
),两式相减得,
,
∴,即
(
),又因为
,
,从而
∴(
),
故数列的通项公式
(
).
在数列中,由
,知数列
是等比数列,首项、公比均为
,
∴数列的通项公式
.
(2)∴①
∴②
由①-②,得,
∴,
不等式即为
,
即(
)恒成立.
方法一、设(
),
当时,
恒成立,则
不满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,
恒成立,则
满足条件.
综上所述,实数λ的取值范围是.
方法二、也即(
)恒成立,
令.则
,
由,
单调递增且大于0,∴
单调递增∴
∴实数λ的取值范围是.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目