题目内容
【题目】对于曲线所在的平面上的定点
,若存在以点
为顶点的角
,使得
对于曲线
上的任意两个不同的点
恒成立,则称角
为曲线
的“
点视角”,并称其中最小的“
点视角”为曲线
相对于点
的”
点确视角”.已知曲线
和圆
是
轴上一点
(1)对于坐标原点,写出曲线
的“
点确视角”的大小;
(2)若在曲线
上,求
的最小值;
(3)若曲线和圆
的“
点确视角”相等,求
点坐标.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据“点确视角”的定义,可知“
点确视角”即为原点与两条渐近线所成角的大小,结合渐近线方程即可求得该角大小.
(2)设出Q点坐标,代入双曲线方程可得Q的横纵坐标的等量关系.根据两点间距离公式即可表示出,根据Q横坐标的取值范围讨论P点的位置,即可求得
的最小值.
(3)根据双曲线与圆的“点确视角”相等,可得与双曲线相切的直线方程,联立后通过判别式即可求得
点坐标.
(1)由题意可知, “点确视角”即为原点与两条渐近线所成角的大小,
因为曲线,两条渐近线方程为
两条渐近线的倾斜角分别为与
所以两条渐近线的夹角为
即“点确视角”为
(2)设,代入曲线
方程可得
,化简即为
因为
则
因为在双曲线右支上,所以
所以当时,
则
所以当时,
则
综上可知,
(3)曲线和圆
根据题意将两个曲线画在坐标系中,如下图所示:
因为曲线和圆
的“
点确视角”相等
由图像可知它们共同的“点确视角”为钝角
双曲线的两条渐近线方程为
所以当时,过P点与双曲线相切时, “
点确视角”相等
则切线方程可表示为
联立双曲线,化简得
根据相切时可得
解得或
因为
故

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