题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点为
、
.
(1)求以为焦点,原点为顶点的抛物线方程;
(2)若椭圆上点
满足
,求
的纵坐标
;
(3)设,若椭圆
上存在两个不同点
、
满足
,证明:直线
过定点,并求该定点的坐标.
【答案】(1);(2)
;(3)直线
过定点
.
【解析】
(1)由椭圆方程可求出左焦点的坐标,由此可求出抛物线的方程;
(2)根据椭圆定义以及余弦定理可求出,再根据面积关系列式可求得结果;
(3)联立直线,与抛物线方程,消去
得到关于
的一元二次方程,根据韦达定理得到两根之和与两根之积,再根据向量相乘为0列式可解得
,从而可得.
(1)在椭圆中,
,
,所以
,
所以,所以
,
所以在抛物线中,所以
,
所以以为焦点,原点为顶点的抛物线方程为:
,即
.
(2)设,
,
,
在三角形中,
,
由余弦定理得:,
所以得,
得,又
,
所以,
所以,
即,
解得:,所以
;
(3)直线的斜率显然存在,设直线
的方程为:
,
联立 ,消去
并整理得:
,
设,
,
则,即
,
,
,
因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
化简得:,
因为,所以
,
所以直线 :
过定点
.
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