Question

8．函数f（x）=alnx+x²-（2a+1）x
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+3=0，求a的值；
（2）若a＞1，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值，g（a）．
（3）对任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，结合已知切线方程，即可解得a=2；
（2）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值；
（3）由题意可得g（x）=f（x）+x在（0，+∞）递增．通过构造函数求出导数，结合二次函数的性质，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-（2a+1），
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=1-a，
在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+3=0，
则1-a=-1，解得a=2；
（2）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-（2a+1）=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）x+a}{x}$，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$（舍）或x=a，
当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]单调递减，在[a，e]上单调递增
所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；
当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．
即有当1＜a＜e时，g（a）=-a²-a+alna；
当a≥e时，g（a）=e²-2ae-e+a．
（3）对任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
即为g（x）=f（x）+x在（0，+∞）递增．
由于g（x）=alnx+x²-2ax，g′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-2a，
g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即有2x²-2ax+a≥0在x＞0恒成立，
即有令h（x）=2x²-2ax+a，对称轴x=$\frac{a}{2}$＞0，
h（0）=a＞0，则判别式△≤0，
即4a²-8a≤0，解得0＜a≤2．
则有a的取值范围为（0，2]．

点评 熟练掌握利用导数研究曲线上某点的切线和函数的单调性、等价转化、二次函数的性质等是解题的关键．