Question

【题目】如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求点D到平面ABC1的距离d．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）.

【解析】

（I）利用勾股定理逆定理证明AC⊥AB，结合AC⊥AA1可得AC平面ABB1A1．

（II）根据列方程解出d．

（Ⅰ）证明：∵在底面ABCD中，AB=1，，BC=2，

∴BC2=AC2+AB2，即AB⊥AC，

∵侧棱AA1⊥底面ABCD，AC平面ABCD，

∴AA1⊥AC，

又∵AA1∩AB=A，AA1平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，

∴AC⊥平面ABB1A1．

（Ⅱ）连接DB，DC1，

由（Ⅰ）知△ABC为直角三角形，且，

∴S△ABD==S△ABC=，

又∵侧棱CC1⊥底面ABCD，

∴，

∵AB⊥AC，AB⊥CC1，AC∩CC1=C，

∴AB⊥平面ACC1，且AC1平面ACC1，

∴AB⊥AC1，

又∵，

∴，

∴=，

解得．