题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆
交于
两点,点
是椭圆
的右顶点,直线
与直线
分别与
轴交于
两点,试问在
轴上是否存在一个定点
使得
?若是,求出定点
的坐标;若不是,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在定点
使得
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合椭圆所过的点和椭圆的离心率可求得,
.则椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设存在定点使得
.联立直线方程与椭圆方程可得
.设
,结合韦达定理有直线
的方程为:
,则
,直线
的方程为:
,则
.由向量垂直的 充要条件有
,据此求解关于n的方程可得
.则存在定点
使得
.
试题解析:
(Ⅰ)由题意可知,又
,即
,
.
解得,即
.
所以.
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)设存在定点使得
.
由得
.
设,则
.
因为,所以直线
的方程为:
,则
,
直线的方程为:
,则
.
则有,
,由
得
,整理得
,故
.
所以存在定点使得
.
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